Semestre 2

1. Suites numériques
   Durée : 2 semaines
   Contenu :

• Limites, comparaison, encadrement, équivalents

• Suites monotones et théorème de convergence

• Suites adjacentes, suites extraites, points d’adhérence

• Suites récurrentes : étude qualitative, points fixes, contraction, niveau adapté

2. Séries numériques
   Durée : 3 semaines
   Contenu :

• Séries à termes positifs : critères de comparaison, critère intégral, condensation, d’Alembert, Cauchy

• Séries alternées : critère de Leibniz, convergence conditionnelle et convergence absolue

• Critères généraux : Dirichlet, Abel, transformation d’Abel

• Calcul de sommes : télescopage, décompositions, séries de référence

3. Suites et séries de fonctions
   Durée : 3 semaines
   Contenu :

• Convergence simple et convergence uniforme, critère de Cauchy uniforme

• Convergence uniforme sur compacts, contre-exemples classiques

• Continuité : passage à la limite sous convergence uniforme

• Intégration et dérivation terme à terme : conditions, échanges limite et intégrale, limite et dérivée

• Convergence normale et convergence uniforme des séries de fonctions : test de Weierstrass

4. Séries entières
   Durée : 3 semaines
   Contenu :

• Rayon et domaine de convergence : Cauchy Hadamard, d’Alembert, critère de la racine

• Continuité, dérivabilité, intégration terme à terme dans le disque de convergence

• Développements en série entière des fonctions usuelles : logarithme, arctan, exponentielle, trigonométriques

• Résolution d’équations différentielles par séries, niveau TD

5. Séries de Fourier
   Durée : 3 semaines
   Contenu :

• Fonctions 2 pi périodiques : coefficients de Fourier, symétries paire et impaire

• Convergence de Dirichlet pour fonctions C1 par morceaux, valeur au point de discontinuité

• Identités et sommes remarquables, séries de référence

• Convergence uniforme sur intervalles, manipulations classiques

Bibliographie

• W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis

• G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics

• J.-P. Kahane, Séries de Fourier

• S. Lang, Complex Analysis

• E. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction

Ce cours est une initiation aux concepts de bases sur les réseaux. Il est assuré sous la forme cours/TD/TP. Il est accompagné d'un accès à la plateforme de certification Cisco en CCNA1 sur les fondements des réseaux.