Semestre 2

le programme détaillé du cours Algèbre 2 ainsi que la bibliographie associée.

1. Matrices : calculs, puissances et relations matricielles
   Durée : 4 semaines
   Contenu :

• Opérations matricielles, compatibilité des dimensions, propriétés algébriques

• Matrices triangulaires et nilpotentes : décomposition A = I + N, calcul de A^n avec le binôme

• Relations polynomiales : matrices annulées par un polynôme, inversion via une identité polynomiale

• Équations matricielles simples : résoudre AX = 0, XA = I, interprétation noyau image rang

• Changement de base : matrices de passage, matrices semblables, calcul de M^n par réduction

2. Déterminants : propriétés, calculs et systèmes
   Durée : 4 semaines
   Contenu :

• Définition, propriétés fondamentales : multilinéarité, alternance, invariances

• Effet des opérations élémentaires sur les lignes et colonnes, calcul rapide par triangulation et par blocs

• Déterminant et inversibilité : det(A) non nul équivaut à A inversible, det(A^{-1}) = 1 det(A)

• Comatrice adjugée : A^{-1} = 1 det(A) Com(A)^T lorsque det(A) non nul

• Systèmes linéaires : règle de Cramer, discussion de systèmes paramétrés : unicité, infinité, absence de solution

3. Réduction des endomorphismes : valeurs propres et diagonalisation
   Durée : 5 semaines
   Contenu :

• Polynôme caractéristique, valeurs propres, sous-espaces propres, multiplicités algébrique et géométrique

• Critère de diagonalisabilité : somme des dimensions des sous-espaces propres, cas 2 par 2 et 3 par 3

• Matrices semblables : réduction A = P D P^{-1 ou forme triangulaire, calcul de A^n

• Polynôme annulateur et théorème de Cayley Hamilton : conséquences sur puissances, inverses, relations matricielles

• Applications : suites récurrentes linéaires, puissances de matrices, systèmes différentiels linéaires

Bibliographie

• S. Lang, Linear Algebra

• K. Hoffman, R. Kunze, Linear Algebra

• P. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces

• G. Strang, Introduction to Linear Algebra

• S. Axler, Linear Algebra Done Right