Analyse 2_1
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Suites numériques
Durée : 2 semaines
Contenu :
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Limites, comparaison, encadrement, équivalents
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Suites monotones et théorème de convergence
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Suites adjacentes, suites extraites, points d’adhérence
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Suites récurrentes : étude qualitative, points fixes, contraction, niveau adapté
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Séries numériques
Durée : 3 semaines
Contenu :
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Séries à termes positifs : critères de comparaison, critère intégral, condensation, d’Alembert, Cauchy
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Séries alternées : critère de Leibniz, convergence conditionnelle et convergence absolue
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Critères généraux : Dirichlet, Abel, transformation d’Abel
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Calcul de sommes : télescopage, décompositions, séries de référence
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Suites et séries de fonctions
Durée : 3 semaines
Contenu :
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Convergence simple et convergence uniforme, critère de Cauchy uniforme
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Convergence uniforme sur compacts, contre-exemples classiques
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Continuité : passage à la limite sous convergence uniforme
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Intégration et dérivation terme à terme : conditions, échanges limite et intégrale, limite et dérivée
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Convergence normale et convergence uniforme des séries de fonctions : test de Weierstrass
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Séries entières
Durée : 3 semaines
Contenu :
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Rayon et domaine de convergence : Cauchy Hadamard, d’Alembert, critère de la racine
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Continuité, dérivabilité, intégration terme à terme dans le disque de convergence
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Développements en série entière des fonctions usuelles : logarithme, arctan, exponentielle, trigonométriques
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Résolution d’équations différentielles par séries, niveau TD
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Séries de Fourier
Durée : 3 semaines
Contenu :
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Fonctions 2 pi périodiques : coefficients de Fourier, symétries paire et impaire
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Convergence de Dirichlet pour fonctions C1 par morceaux, valeur au point de discontinuité
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Identités et sommes remarquables, séries de référence
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Convergence uniforme sur intervalles, manipulations classiques
Bibliographie
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W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis
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G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics
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J.-P. Kahane, Séries de Fourier
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S. Lang, Complex Analysis
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E. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction
Algèbre 2_1
le programme détaillé du cours Algèbre 2 ainsi que la bibliographie associée.
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Matrices : calculs, puissances et relations matricielles
Durée : 4 semaines
Contenu :
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Opérations matricielles, compatibilité des dimensions, propriétés algébriques
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Matrices triangulaires et nilpotentes : décomposition A = I + N, calcul de A^n avec le binôme
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Relations polynomiales : matrices annulées par un polynôme, inversion via une identité polynomiale
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Équations matricielles simples : résoudre AX = 0, XA = I, interprétation noyau image rang
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Changement de base : matrices de passage, matrices semblables, calcul de M^n par réduction
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Déterminants : propriétés, calculs et systèmes
Durée : 4 semaines
Contenu :
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Définition, propriétés fondamentales : multilinéarité, alternance, invariances
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Effet des opérations élémentaires sur les lignes et colonnes, calcul rapide par triangulation et par blocs
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Déterminant et inversibilité : det(A) non nul équivaut à A inversible, det(A^{-1}) = 1 det(A)
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Comatrice adjugée : A^{-1} = 1 det(A) Com(A)^T lorsque det(A) non nul
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Systèmes linéaires : règle de Cramer, discussion de systèmes paramétrés : unicité, infinité, absence de solution
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Réduction des endomorphismes : valeurs propres et diagonalisation
Durée : 5 semaines
Contenu :
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Polynôme caractéristique, valeurs propres, sous-espaces propres, multiplicités algébrique et géométrique
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Critère de diagonalisabilité : somme des dimensions des sous-espaces propres, cas 2 par 2 et 3 par 3
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Matrices semblables : réduction A = P D P^{-1 ou forme triangulaire, calcul de A^n
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Polynôme annulateur et théorème de Cayley Hamilton : conséquences sur puissances, inverses, relations matricielles
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Applications : suites récurrentes linéaires, puissances de matrices, systèmes différentiels linéaires
Bibliographie
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S. Lang, Linear Algebra
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K. Hoffman, R. Kunze, Linear Algebra
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P. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces
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G. Strang, Introduction to Linear Algebra
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S. Axler, Linear Algebra Done Right
1211- Culture et Compétence Numérique SE2-SI
Cours Culture et Compétence Numérique
1203 Algorithmique, structures de données et complexité
1207 Fondements des réseaux
Ce cours est une initiation aux concepts de bases sur les réseaux. Il est assuré sous la forme cours/TD/TP. Il est accompagné d'un accès à la plateforme de certification Cisco en CCNA1 sur les fondements des réseaux.