Première année

le programme détaillé du cours Algèbre 1 ainsi que la bibliographie associée.

1. Rappels et outils de base
   Durée : 1 semaine
   Contenu :

• Logique, quantificateurs, ensembles, applications, relations

• Rappels de calcul algébrique, identités remarquables, factorisations usuelles

2. Polynômes sur R et C
   Durée : 4 semaines
   Contenu :

• Définition, degré, valuation, opérations, polynômes unitaires

• Division euclidienne, algorithme d’Euclide, PGCD, identité de Bézout

• Racines, multiplicité, dérivée d’un polynôme, racines multiples avec PGCD(P, P’)

• Factorisation dans C[X] et R[X], polynômes irréductibles sur R

3. Nombres complexes (outils pour les polynômes)
   Durée : 2 semaines
   Contenu :

• Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle

• Module, argument, produit, quotient, formule de De Moivre

• Racines n-ièmes de l’unité et applications à la factorisation

4. Fractions rationnelles
   Durée : 3 semaines
   Contenu :

• Corps R(X) et C(X) : définition, simplification, pôles, zéros

• Décomposition en éléments simples sur R : facteurs linéaires et quadratiques

• Décomposition en éléments simples sur C : facteurs linéaires

• Applications : calculs de sommes et télescopages, limites, intégrales si traité

5. Espaces vectoriels sur R
   Durée : 4 semaines
   Contenu :

• Définition, sous-espaces, combinaisons linéaires, familles libres et génératrices, bases, dimension

• Somme, somme directe, intersection, supplémentaires

• Espaces de polynômes R_n[X] : bases usuelles, changement de base

• Espaces définis par équations linéaires : paramétrage, calcul de bases

6. Applications linéaires
   Durée : 4 semaines
   Contenu :

• Définition, linéarité, noyau, image, rang, théorème du rang

• Injectivité, surjectivité, bijectivité, composition, endomorphismes simples

• Matrice associée dans une base, calcul d’images et noyaux par systèmes linéaires

• Symétries et projections : exemples classiques et décompositions en sous-espaces

Bibliographie

• S. Lang, Linear Algebra

• K. Hoffman, R. Kunze, Linear Algebra

• P. J. Cameron, Introduction to Algebra

• S. Abhyankar, Algebra

• G. A. Jones, J. M. Jones, Elementary Number Theory and Algebra