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Algèbre 1

Algèbre 1

Course categoryPremière année

le programme détaillé du cours Algèbre 1 ainsi que la bibliographie associée.

  1. Rappels et outils de base
    Durée : 1 semaine
    Contenu :

  • Logique, quantificateurs, ensembles, applications, relations

  • Rappels de calcul algébrique, identités remarquables, factorisations usuelles

  1. Polynômes sur R et C
    Durée : 4 semaines
    Contenu :

  • Définition, degré, valuation, opérations, polynômes unitaires

  • Division euclidienne, algorithme d’Euclide, PGCD, identité de Bézout

  • Racines, multiplicité, dérivée d’un polynôme, racines multiples avec PGCD(P, P’)

  • Factorisation dans C[X] et R[X], polynômes irréductibles sur R

  1. Nombres complexes (outils pour les polynômes)
    Durée : 2 semaines
    Contenu :

  • Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle

  • Module, argument, produit, quotient, formule de De Moivre

  • Racines n-ièmes de l’unité et applications à la factorisation

  1. Fractions rationnelles
    Durée : 3 semaines
    Contenu :

  • Corps R(X) et C(X) : définition, simplification, pôles, zéros

  • Décomposition en éléments simples sur R : facteurs linéaires et quadratiques

  • Décomposition en éléments simples sur C : facteurs linéaires

  • Applications : calculs de sommes et télescopages, limites, intégrales si traité

  1. Espaces vectoriels sur R
    Durée : 4 semaines
    Contenu :

  • Définition, sous-espaces, combinaisons linéaires, familles libres et génératrices, bases, dimension

  • Somme, somme directe, intersection, supplémentaires

  • Espaces de polynômes R_n[X] : bases usuelles, changement de base

  • Espaces définis par équations linéaires : paramétrage, calcul de bases

  1. Applications linéaires
    Durée : 4 semaines
    Contenu :

  • Définition, linéarité, noyau, image, rang, théorème du rang

  • Injectivité, surjectivité, bijectivité, composition, endomorphismes simples

  • Matrice associée dans une base, calcul d’images et noyaux par systèmes linéaires

  • Symétries et projections : exemples classiques et décompositions en sous-espaces

Bibliographie

  • S. Lang, Linear Algebra

  • K. Hoffman, R. Kunze, Linear Algebra

  • P. J. Cameron, Introduction to Algebra

  • S. Abhyankar, Algebra

  • G. A. Jones, J. M. Jones, Elementary Number Theory and Algebra

Teacher: Ines Adouani

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